Guten Morgen. Wir wollen gerade das Kapitel über das Hubbard-Modell abschließen, das

heißt dieses wichtige Modellsystem für wechselwirkende Teilchen auf dem Gitter. Und wir hatten in

der letzten Stunde zum Schluss hin noch kurz das Fermi Hubbard-Modell erwähnt. Wenn also

Samyon sich auf dem Gitter bewegen und das war tatsächlich die erste Variante von dem

Hubbard-Modell, die eingeführt worden ist, um eben gerade die starke Wechselwirkung zwischen

Elektronen auf einem Kristallgitter zu beschreiben. Ich schreibe das Modell noch einmal hin. Wir

haben einerseits die kinetische Energie, die beschreibt Elektronen, die von Gitterplatz

zu Gitterplatz, also Atomorbital zu Atomorbital hüpfen und die dabei ihren Spin nicht verändern.

Das heißt, hier habe ich einerseits diese Hüpfamplitude, groß J, andererseits eine

Summe über alle Gitterplätze und dann zu jedem dieser Gitterplätze eine Summe über

die benachbarten Plätze. Und schließlich habe ich hier, weil ich zwei Spinrichtungen

habe, auch noch eine Summe über beide Spinrichtungen, weil beide Sorten können sich bewegen. Und

dann steht das, was wir erwarten würden, nämlich auf dem einen Platz wird ein Elektron

vernichtet mit dem Spin Sigma und auf dem anderen Platz wird ein Elektron mit demselben

Spin erzeugt. Und dann gibt es die Wechselwirkung und die Wechselwirkung soll hier auch nur

lokal wirken. Nur wenn zwei Elektronen sich auf demselben Orbital befinden, dann können

sie ihre starke Coulomb-Wechselwirkung spüren und das bedeutet natürlich in diesem einfachen

Modell automatisch, dass sie entgegengesetzt gerichtete Spins haben müssen. Jetzt könnte

man das noch verallgemeinern auf Modelle, wo pro Atom mehrere Orbitale zur Verfügung

stehen, dann ist es natürlich etwas anders. Okay, hier steht also die Wechselwirkung U

mal ebenfalls Summe über alle Plätze und dann das Produkt aus dem Besetzungszahl-Operator

für Spin-Up und Spin-Down auf diesem Orbital. Also nur wenn beide besetzt sind, gibt es

eine Wechselwirkungsenergie. Und das heißt, das Modell, was wir haben, kennt verschiedene

Konfigurationen dieser Teilchen. Beispielsweise ist mal nur ein Teilchen auf einem Platz und

dann hätten wir vielleicht einen doppelt besetzten Platz und hier einen leeren Platz

und dann kann sich eines dieser Teilchen auf den Nachbarplatz bewegen beispielsweise. Und

die Konfiguration, die hier steht, kostet die Energie U. Wir hatten dann kurz diskutiert,

was würde man zuerst lösen? Das wäre natürlich das Modell ohne Wechselwirkung, dann würde

man das ein Teilchenproblem betrachten, da ergibt sich aber dieselbe Dispersionsrelation,

wie wir sie schon beim Buse-Habert-Modell kennengelernt haben. Dann würde man zu der Situation gehen,

wo die Wechselwirkungseffekte noch recht schwach sind, wo man auch bei höheren Temperaturen

ist und dann eine Boltzmann-Gleichung hinschreiben kann, eine kinetische Gleichung, die einem

sagt, wie die Teilchen hin und wieder stoßen und ihre Impulse austauschen und damit sich

die Impulsverteilung langsam ändert. Wir wissen, zu welcher Gleichgewichtsimpulsverteilung

das System streben sollte, nämlich die, die durch die Fermi-Dirac-Verteilung angegeben

ist. Und wir hatten auch schon die Bemerkung gemacht, dass bei diesen Stößen natürlich

die Endzustände unbesetzt sein müssen und dass es immer schwieriger ist, bei tieferen

Temperaturen unbesetzte Zustände zu finden, die gleichzeitig einem auch noch erlauben,

Energie und Impulserhaltung zu erfüllen. Und deswegen geht die gesamte Streurate für

ein gegebenes Teilchen nach unten, wenn die Temperatur nach unten geht. Das bedeutet

auch, dass die Thermalisierung immer langsamer wird. Das ist ganz charakteristisch für Fermisysteme,

dass die Streurate durch die Stöße, die durch die Wechselwirkung induziert werden,

immer kleiner und kleiner wird bei tieferen Temperaturen. Das ist dann sogar wichtig als

Grundlage für das Konzept von der sogenannten Fermi-Flüssigkeitstheorie, das werden wir

hier nicht diskutieren, das würde man zum Beispiel in der Festkörpertheorievorlesung

diskutieren, wo im Wesentlichen gesagt wird, trotz dieser unter Umständen wirklich recht

starken Wechselwirkung, kann man bei tiefen Temperaturen für die Elektronen, die sich

nahe der Fermikante bewegen, so tun, als seien es fast freie Elektronen, vielleicht mit leicht

veränderten Eigenschaften, wie eine leicht veränderten Masse über diese effektive Bandmasse

hinaus, die wir schon kennen. Aber ansonsten verhalten sie sich fast wie freie Elektronen